Viaggiare nello spazio?

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[Viaggiare nello spazio?]

Il moto uniformemente accelerato � quello che potrebbe descrivere l'avventura di una "realistica" anche se fantascientifica astronave ad antimateria, dotata di motori capaci di accelerarla in modo uniforme per lunghi periodi di tempo.
L'accelerazione non potrebbe superare troppo quella di gravit� per non sottoporre gli astronauti a sforzi fisici disumani. Viceversa una accelerazione costante di 1 g (ossia 9.8 m/s²) renderebbe la vita sull'astronave simile a quella sulla Terra, quindi molto pi� naturale di quella che fanno gli attuali astronauti delle stazioni spaziali, costretti a vivere in assenza di gravit�.

Per dare un tocco di concretezza si potrebbe pensare ad una astronave che conservi in formidabili "bottiglie magnetiche", grosse masse di antimateria come combustibile e corrispondenti masse di materia come "comburente"; il comburente, per ridurre la massa dell'astronave, potrebbe anche essere "aspirato" dallo spazio stesso in cui l'astronave si muove.

Dalla reazione materia-antimateria l'astronave potrebbe trarre l'energia per imprimersi una accelerazione costante per lunghi periodi di tempo.

Quanto � scritto nel seguito � assolutamente rigoroso (spero... ;-) ) e pu� servire a chiarire alcuni misteri della Teoria della Relativit� ristretta (formulata come tutti sanno, nel 1905 da Albert Einstein).
In sostanza quanto segue rid� un filo di speranza agli uomini condannati, a causa della velocit� limite della luce, a non poter raggiungere le stelle appena un po' distanti dal Sole o a varcare i confini della nostra galassia, la Via Lattea. Poich� quasi tutte le stelle visibili ad occhio nudo stanno a pi� di 100 anni luce da noi (e spesso MOLTO MOLTO di pi�) e poich� non � mai possibile superare la velocit� della luce (300000000 m/s) praticamente l'intero universo sembrerebbe irraggiungibile perch� ogni viaggio durerebbe enormemente pi� dell'intera vita dell'astronauta.

Fortunatamente NON � vero perch� la Teoria della Relativit� mostra anche che avvicinandosi alla velocit� della luce la vita dell'astronauta si allunga; egli non se ne accorge ma tutto, in lui, osservato dai compagni sulla Terra, rallenta e quindi l'astronauta...non invecchia e quindi riuscir� a raggiungere le Nubi di Magellano, una galassia distante milioni di anni luce, ancora relativamente giovane mentre, sulla Terra, il genere umano, per qualche guerra nucleare o qualche errore genetico si sar� da millenni estinto.

Per capire come questo NON SIA FANTASCIENZA bisogna capire quanto segue...

Dato che il moto � supposto unidimensionale, detta c la velocit� della luce, la metrica pseudoeuclidea sar�:

(ds)² = (c*dt)² - (dx)²

dove ds rappresenta l'intervallo infinitesimo invariante rispetto ad una qualsiasi trasformazione di Lorentz.
Se definiamo la quadrivelocit� come:

|u> = ( (c*dt)/(ds) , (dx)/(ds) ) = (u_t , u_x)

dove, un po' arditamente, si usa una notazione alla Dirac per un vettore controvariante (ossia |u> ) e quindi il corrispondente vettore covariante lo si indica con <u| = ( (c*dt)/(ds) , - (dx)/(ds) ) Si noti che <u|u> = 1 cio� il vettore tetra_velocit� ha norma pseudoeuclidea unitaria. Se chiamiamo u_t ed u_x le componenti di |u> allora la tetra_accelerazione, indicata con il vettore |w> vale:

|w> = ( d/ds (u_t) , d/ds (u_x) ) = (w_t , w_x)

e deve valere la relazione (che deriva dall'essere <u|u> = 1 )

<w|u> = 0

cio�, nel moto unidimensionale:

c*w_t= v*w_x

essendo v = (c*u_x)/u_t la velocit� convenzionale ossia la derivata della posizione rispetto al tempo.

La tetra_velocit� deve dunque essere sempre ortogonale alla tetra_accelerazione.Se ipotizziamo che l'accelerazione sia una costante nel sistema di riferimento solidale con gli astronauti e che velocit� e posizione iniziali della astronave siano entrambi nulle allora poniamo che, nel sistema di riferimento dell'astronave, sia:

|w> = ( 0, a/c² )

e nello stesso sistema sia:

|u> = ( 1, 0 )

e pertanto |u> e |w> siano tra loro ortogonali come deve essere.
La quantit� <w|w> � un invariante e pertanto sempre, anche nel sistema dell'osservatore terrestre, deve essere:

<w|w> = -a²/c⁴

ovvero, introducendo le componenti della tetra_accelerazione:

w_t² - w_x² = -a²/c⁴

Ma w_t pu� essere espresso in funzione di w_x tramite la relazione di ortogonalit� <w|u> = 0 ossia:

(v/c)²*w_x² - w_x² = -a²/c⁴

ovvero, estraendo la radice quadrata:
(1 - v²/c²)^� * w_x =a/c²

ed essendo w_x = (dt/ds)*(d(u_x)/dt) = (1/(c*(1-v²/c²)^� ))*(d(u_x)/dt) si semplificano le radici quadrate e si ottiene:

d(u_x)/dt = a/c

per cui integrando:

u_x= t*a/c

dove t � il tempo dell'osservatore sulla Terra e vale 0 al momento del decollo dell'astronave.

Ma u_x = v/(c*(1 - v²/c²)^� ) e quindi, risolvendo la seguente equazione:

v/( 1 - v²/c²)^� = a*t

rispetto all'incognita v, si trova:

v = a*t/( 1 + (a*t/c)²)^�

Essendo v la velocit� classica (d/dt)X = v basta integrare rispetto a t per trovare lo spazio percorso nell'ipotesi che per t = 0 anche X = 0.
Si ha:

X = (c²/a) * (( 1 + (a*t/c)²)^� - 1).

Il tempo proprio degli astronauti � l'integrale tra 0 e t del tempo proprio infinitesimo ossia l'arco invarante di traiettoria fratto c ossia:

            t                t
           /                /
           |                |
           | ds/c =   | ( 1 - v²/c²)^� * dt
           /                /
          0                0

ossia sostituendo a v la sua espressione:

        t
       /
       |
       | 1/( 1 + (a*t/c)²)^� * dt = (c/a)*log(a*t/c + ( 1 + (a*t/c)²)^�)
       /
       0

Per t molto grandi il tempo proprio aumenta in modo proporzionale al logaritmo di t.

Qualche considerazione numerica chiarisce il fenomeno.

Se c= 3.0E+8 m/s e si pone a = 10 m/s² allora c/a rappresenta un tempo di 3.0E+7 secondi ossia circa un anno.
Dopo un anno di accelerazione continua costante la velocit� � diventata circa c/2^� ossia 212000 km/s e si va avanti cos� secondo quanto � calcolabile con la formula su esposta.

Uscire dalla galassia si pu�: basta avere enormi quantit� di antimateria e motori fotonici giganteschi.
L'antimateria a contatto con la materia si trasforma completamente in energia e quindi l'astronave dovr� possedere perfettissime bottiglie magnetiche in cui tenere intrappolata l' antimateria fino al momento di mandarla nei motori.
Questo, attualmente � enormemente al di l� delle possibilit� umane ma cosa avrebbe detto un uomo pur coraggioso e sognatore come Cristoforo Colombo a chi gli avesse predetto che gente del continente che lui non si sarebbe accorto di scoprire sarebbe stata capace, 500 anni dopo, di passeggare e di girare in auto sulla Luna?

Onoriamo dunque anche i pazzi che studiano queste inutili cose...

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